学部の頃に勉強した事-量子力学-
物理学科に進んだからには、量子力学は避けては通れない、というより学びたい、と思うのが筋でしょう。心配しなくてもだいたい必修なので学ぶことにはなるのですが、それを待てずに自分から勉強する物理学徒は少なくないはずです。実際、僕の同年代の学生も学部1、2年の頃から量子力学の本を読んでいたりしていました。(あくまで一部の学生です。)僕自身は、学部1年の頃に読んでわかるわけないよなあ...と敬遠していたので出だしは少し遅れて学部2年の夏休みくらいから教科書を読み始めました。最初に読んだ本は小出昭一郎「量子力学1,2」です。
https://www.amazon.co.jp/量子力学%E3%80%881〉-基礎物理学選書5A-小出-昭一郎/dp/4785321326
しっかり量子力学を身につけようと思ったらやはりブラケット形式で学ぶべきなのですが、量子力学がどういう学問なのかを知る分にはこの本はちょうど良かったと思っています。それでも2巻は多体系の量子力学の話になっていてSlater行列式を用いたフェルミオン系の記述やHartree-Fock方程式の話などは結構難しいはずです。一応読み進めれば第2量子化まで説明されているのですが、これは別の本で勉強した方が身につくんじゃないかな、と思っています。僕自身は2巻のかなり最後の方まで一気に読み進めたのですが、今思えば全く頭に入っていなかったなあと反省するばかりです。
そんなこんなで大学2年が終わろうとする頃にこの本をだいたい読み終わって来たのでもう一度体系立てて量子力学を勉強しようと思い立ちました。
そこで、次の本にチャレンジし始めました。これが大学2年の冬です。
（自分へのクリスマスプレゼントだと言い聞かせて買ったことを今思い出しました。）
そう、言わずと知れたあのDiracの教科書です。(図が一切でないことで有名だとか。)難しいか、と言われればいうほど難しくないと思います。ただ、記法が若干気に食わなかったりする部分があったりして、そういう意味では読みにくい点がないとは言えません。ちなみに後半の同種粒子の統計性の話やDirac方程式、電磁場の量子化の話はもっとモダンな視点で書いた教科書を読んだ方が絶対にわかりやすいはずです。量子力学黎明期の問題意識を知るには良いと思うのですが、個人的には色々と問題がとっちらかっている印象を受けたので(理論が整理されきっていないという意味で)かなり難しく感じました。前半に限って言えばブラケット気泡の説明がひたすら続いています。ハミルトニアンという概念が登場したあたりで「ようやく物理が始まった！」と友人と喜んだことを覚えています。それまではひたすら線形代数でした。ただ、ここで線形代数の復習ができたことは自分としてはとても良かったと思っています。量子力学は極論を言ってしまえば線形代数なので、線形代数の理解が深まっていた方が量子力学にはとっつきやすいはずです。ただ、Diracの本は線形代数をかなり丁寧にやっているという意味では復習も兼ねて読めるので線形代数に相当の自信がなくても挑戦できるのではないでしょうか。
ちなみに、量子力学において線形代数のベクトルに相当するものが「状態」という概念なのですがこの概念に慣れるのに僕は結構時間がかかりました。今でも十分に理解しているかと言われれば不安になります。とりあえず、状態はその物理系の「プロフィール」とでも言っておけばよいだろう、というのが現段階の理解です。例えば誰かのプロフィールを見れば年齢がわかるし、出身地もわかる。それと同じように物理系(例えば電子)にもそういった情報が含まれていて「出身地は？」と聞くのと同じように「あなたは今どこにいる？」のように尋ねれば「x=0にいます」のように答えを返してくれる、そんなイメージです。「プロフィール」あるいはRPGゲームの「ステータス」みたいなものでしょうか。(状態は英語でstateなのでステータスと読み替えることはほとんど同義でしょう。)この状態と、従来の波動関数のつながりも丁寧にDiracは説明してくれていました。その内容も今ではなんてことなく思えるのですが、波動関数は状態を位置で展開したときの展開の係数にすぎない、という理解を得たときは感動しました。
量子力学の勉強に関してはまだまだ書きたい事があるのですが、一旦ここまでとしておきます。
そういえば「世界を変えた書物展」に行ってきたのだった
2018年9月に上野の森美術館にて「世界を変えた書物展」というものが開催されていたことをご存知だったでしょうか？書物、と聞いてどういうジャンルを思い浮かべるかによってその人のライフワークというか一部分を知ることができそうです。ここでいう「世界を変えた書物」というのは主に工学・理学の分野で変えたという事らしいです。理学部の僕からすれば結構理学部よりだったのではないかとも思いました。(そういう展示物にばかり目が行っていただけかもしれません。)
どんな展示があったかというと、例えば序盤は建築に関する本が多かったです。昔の本は大きいのだなあ、と思いました。それからあんなに細かい文字(当時はラテン語で書かれた書物が多かった)を印刷するというのは、今のような印刷機がある訳でもないのでとんでもない作業だったのではないか、と内容よりも本を作る家庭に思いを馳せてしまいました。それからNewtonのプリンキピア(Philosophiae naturalis principia mathematica)もありました。これは外せないですよね。力学の源流かと思うと(こういうと先駆けとなるKeplerやGalileiに失礼かもしれないですが)なかなか感慨深いものがあって人類の偉大さと尊さみたいなものを大げさに感じてしまいます。もちろん今言ったKeplerやGalileiの本もありました。天体の運動が当時では最も大きな興味の対象だったので天体に関する書物は時代に偏りがあります。他にも電磁気学と銘打ったパートもあって、みんな大好きMaxwellの書物もありました。そう言えば昔は研究結果を本として出版していたのですね。論文を投稿するという仕組みになっていったのはいつ頃からなんでしょうか。Maxwellの本の近くにはLorentzやHertzらの名前もありました。もっと先に進むと量子力学の偉人たち(SchrödingerやHeisenbergなど)の論文も当然ありました。(この展示では論文も書物としてカウントしていました。)日本人としては長岡半太郎や湯川秀樹も名を連ねていました。朝永振一郎はあったかな…、残念ながら覚えていません。しかもこの展示、重力に関するパートまで設けていてこれはなんというかEinsteinの為だけに設けられている感じは否めませんでした。その付近にRiemann幾何学の数学の書物まで展示していたのは流石というかやり過ぎというか。僕は楽しいのですが、Euclid幾何学ではない幾何学があることが重大な発見だ、と言われてピンとくる人はどれくらいいるのでしょうか。
こうした面々が名を連ねているのを見ると最早気持ちがいいです。これを見て研究頑張ろう、とモチベーションが上がったのは確かな事。ただ一方でこれほどまでの偉業を眼前に見せつけられるとこちらの牙も折れてしまいそうです。巨人の肩に乗る前にその風貌に圧倒されてしまうイメージです。
何はともあれ、展示自体は満足でした。僕の知っている人の名前が多く見られただけでもワクワクしますし、こうした書物が今の科学につながっていると思えば壮大なストーリーを感じます。これから僕はそのストーリーの中に入り込めるのでしょうか。一生とは言わずとも1度くらいはその流れの中に身を投じてみたいですよね、どうせなら。
理論物理専攻の大学院生の生活
自分で言うのも何ですが、とても謎ですよね。大学院生の生活なんて何をしているのか想像つかないと言うのが一般的な印象だと思います。ここでは理論系の大学院生を想定して(当然モデルは僕自身です)書いていきます。
まず、何が生活の軸になるかと言うと何はともあれ研究です。そもそも研究テーマを決める所に結構時間をかける場合もあります。研究のスタイルもまちまちだと思いますが基本的には紙とペンとコンピュータではないでしょうか。だから朝早く研究室に来てコンピュータをいじっていたり論文を読んでいたり紙に何か計算をしたりホワイトボードの前で議論をしたり、と言うことをしながら時間がすぎていきます。また、大学院でも授業はあるのでその時は学部の学生と同じように講義に出て勉強してレポートを出したりして、と言ったことをします。
これで全てなのです。これを聞いて「楽しそうだ」「魅力的だ」と思うかそれとも「大変そうだ」「楽しくなさそう」と思うかは人それぞれです。どちらが正しいと言うわけでもありません。ただ、当の本人たちは少なからず何かしら惹かれるものがあってこの道に進んでいます。それだけ物理学は人を惹きつける魅力を内在的に持っています。
したがって大学院生の(主に僕の)1日は基本的に「研究」「講義」になります。時々セミナーと言って誰か講演者がいて1時間程度の発表をしてもらい、その分野について概観を知ると言う催しもあったりして、結構そういう機会はあります。物性物理と一言に言ってもあまりに多くの分野がありすぎるので全ての分野の知識を収集し続けることは難しいので、こう言う機会を設けて概観だけでも知っておこう、ということだと思っています。
また研究室によっては進捗を報告しあったり、研究内容について発表したり、と言う会が定期的に開かれる場合もあります。そうした場合は、研究に加えてそれを他人に伝えるためのスライドや資料づくりも日々の課題の一つとなります。同じ研究室にいるのだから、仲間内で発表するの？と疑問に思う人がいるかもしれませんが、理論の研究室の場合、個人個人でテーマが大きく違うことがあります。例えば物性物理という大枠は一緒でも、先ほど言ったようにそれに含まれる分野はあまりに多いので隣の机に座ってる同期が何をどう研究しているのかよくわからない、なんて事もあるかもしれません。(流石に重要なキーワード程度は知るとは思いますが。)ですから、同じ研究室内での発表会であっても結構新鮮だったりします。
少し話は逸れましたが、院生の位置にちを大雑把に書いてみました。どうでしょう、イメージはできたでしょうか？もう少し詳細な1日のスケジュールを知りたいと思うかもしれません。それから「バイトはしてるの？」「生活費はどうするの？」「大学院の勉強って学部の時とどう違うの？」などなど、きっと(興味のある人は)聞きたいことがたくさんあると思います。と言うのも実際に僕自身がこれらのことが気になっていたからです。こうしたことにも後々答えていきたいと思います。
学部の頃に勉強した事-電磁気学-
電磁気学には苦労した思い出ばかりあります。今だってちゃんとわかっているのか、と聞かれたら不安になるのですがそんな僕がどんな勉強したのかを書いていこうと思います。
やはり最初に電磁気に触れたのは講義でした。学部の講義自体、電磁気学は3つに分かれていました。最初の講義は歴史的な流れに沿って最後にMaxwell方程式にまとめ上げていく、という内容。2番目の講義が物質中の電磁気学の講義。3番目がこれまでの復習と電磁波の放射などを扱う講義でした。最初に聞いた講義が歴史的な流れに沿っていたので自習用の教科書はトップダウン式の教科書がいいと思い、砂川理論電磁気学を読みました。
https://www.amazon.co.jp/理論電磁気学-砂川-重信/dp/4314008547
これも最後まで読み通したわけではないのですがほとんどの部分はそれなりに読みました。ただ、集中的に読んだのは院試勉強の時なので3年から4年にかけてでした。ただ、その時まで講義以外に読んだ本がなかったわけではありません。実は学部3年の時に場の古典論いわゆる「ばこてん」を読んでいました。
https://www.amazon.co.jp/場の古典論―電気力学-特殊および一般相対性理論-ランダウ-リフシッツ理論物理学教程-エリ・ランダウ/dp/448901161X
これは砂川さんの教科書よりももっと解析力学よりに書かれています。つまり、作用がありきで書かれています。これもいい本だと思いましたがやはり難しく感じました。
なお、電磁気学を学ぶにあたって真空中の理論なのか物質中の話なのかを区別することはとても重要だと思っています。物質中の電磁気だけを取り扱った教科書をちゃんと読んだことは正直言ってありません。いずれ読みたいところです。
院試勉強の際に砂川理論電磁気学を読んだと言いましたが、その後に(自分の理解の甘さを痛感したので)以下のような本も読みました。
https://www.amazon.co.jp/Classical-Electricity-Magnetism-Second-Physics/dp/0486439240
このPanofskyの電磁気学は、どちらかというとCoulombの法則やFaradayの法則などからMaxwell方程式を組み立てていくタイプだと言えるのですが、僕が好きなのは物理的な意味やイメージをつかめるように説明してくれているという所です。特によく覚えているのが、電磁場のエネルギーの解釈について。例えば2つの電荷が与えられた時にその間にはCoulombポテンシャルによる相互作用のエネルギーがあるのですがこのエネルギーは「誰が」持っているのか？という話です。この2つの電荷に等しく分配されているのか？それとも片方の電荷だけが持っているのか？それとも場に蓄えられているのか？Panofskyの本によれば、誰が持っているのか、という説明は力学で言うところのバネのエネルギーに似ている、ということです。2つの質点が与えられてその間はバネでつながっているとします。この系が収縮したときに、バネの弾性エネルギーが蓄えられるのですが、このエネルギーはどこにあるとも言えません。2つの質点が持っていると言ってもいいですし、バネに蓄えられていると言っても良いわけです。Coulombの法則による相互作用のエネルギーも同じような解釈ができるわけです。特にバネに蓄えられているエネルギーという解釈が場に蓄えられたという解釈に対応します。こうした解釈を通して電磁場が弾性体の集合体とみなせる、ということも書いてあった気がします。
ついつい電磁場のエネルギーについて語ってしまいましたが、それくらい改めて読んでみると面白い本だということです。とは言え簡単な本ではないと思います。さりげなく統計力学の知識を持ち出してきたりもするので、ある程度物理に慣れ親しんだほうが読みやすいと思います。
今の所読んだ本はこれくらいです。先ほども書いたのですが物質中の電磁気学についてしっかり勉強したことがないので、その辺はちゃんと勉強したいです。しかし何が良い教科書なのでしょうか。唯一知っているのは、理論物理学教程の連続媒質の電磁気学という本。
https://www.amazon.co.jp/Electrodynamics-Continuous-Media-Second-Theoretical/dp/0750626348
かなり難しいらしいのですが、どうなんでしょう。いずれ挑戦してみたいです。ここまで勉強してみて思ったのが、
「綺麗なフォーマリズム」を学ぶ勉強と「各々の物理量の解釈」を学ぶ勉強のどちらも学ばなければいけないのだなと言う事です。僕自身どちらもまだ不十分なのですが、今後も上記のことに注意していきたいものです。
学部の頃に勉強した事-力学-
今、勉強していることについてまとまったことがしばらく書けなさそうなので学部の頃に勉強してことについて書いてみようと思いました。
とはいえ何か特別なことをやったかというとそういう訳でもありません。結局のところ講義で身につけた知識や考え方が大きいと思いました。というのも講義を聞くということはその分野の基本的な話の進め方、大雑把な理論構成を短時間で知るということなので結構お得だと思いました。大雑把な理論構成を知るというのは高度な分野になる程難しいなあと実感したので講義のありがたみというのは年々理解できるようになりました。
さて、今日は「力学」の勉強について話そうと思います。ここでは解析力学を含めるかどうかという点が微妙なのですが基本的に解析力学は含めないで話そうと思います。
やはり最初は学部の講義で基本的なことは学びました。高校物理を数額を用いて精密に組み立て直しているような内容なのではじめの方はとても簡単に思えました。しかし唯一腑に落ちなかった点が力学の基礎の基礎である「慣性の法則」でした。力が働かない物体が静止あるいは等速直線運動を行うように記述される慣性系なる座標系(あるいは観測者)が存在する、という法則であり慣性系に基づいた力学の枠組みを保証するものなのですが当初慣性系の存在を当たり前に思っていたのでもやもやしていたことを覚えています。
さて、学部で学んだのが大学1年の時です。1年後期では剛体の力学まで扱いました。これはなかなか厄介で苦手意識があったことも覚えています。その後大学2年になってしばらく古典力学からは離れるのですが剛体に対する苦手意識をどこかで感じていました。そこで大学2年の冬に改めて勉強しようと思い立ちました。あまり分厚い本を読むのは難だな、ということで薄い力学の本を探しました。そこで以下の本を教科書として復習を開始しました。
https://www.amazon.co.jp/力学-増訂第3版-ランダウ-リフシッツ理論物理学教程-エリ・ランダウ/dp/4489011601
知ってる人が見たら「確かに薄い本だけど...」という反応をされるかもしれませんが、幸い解析力学も一通り学んでいた身としてはとてもありがたい本となりました。解析力学による記述(特に対称性と保存量の話)がスッキリしていながらも、普通の古典力学教科書に載っているような話題(中心力場、練成振動、剛体の理論)などが含まれていたので載っている話題としても満足でした。しかしそれなりに重い本でもあったので大学2年の間に流石に全部読むことはできませんでしたがとにかく整理しておきたかった剛体の部分はだいぶ整理されました。
また、僕は外部の院を受けたのでその時の院試対策として過去問とは別に力学のまとめノートを作成しました。これは大学3年から4年にかけてです。結局この時にLandau「力学」のまだ読んでいなかった章を読みました。不思議なもので何度か勉強して、ほかの分野もある程度勉強しているとわかりやすく感じるものです。感じているだけかもしれませんが。練成振動や、剛体の章もさることながら、後半のHamilton形式の解析力学について、特にHamilton-Jacobi方程式の説明は為になりました。この方程式を使う事が現在の研究の現場であるのかはよくわからないのですが、少なくともLandau Lifshitzのシリーズの「場の古典論」ではHamilton-Jacobi方程式が割と使われているのでこのシリーズを読んでいこうと思うなら勉強しておいた方が良いと思います。これは余談ですが、経路積分という計算を量子力学で登場するのですが、その計算においてもHamilton-Jacobi方程式を使えると便利な事があります。というのも経路積分を具体的に実行する方法として古典経路の周りで摂動展開みたいなことをしたりするのですが古典経路の作用を計算する時に、終点の関数として古典経路の満たすべき方程式が結局Hamilton-Jacobiの方程式になってそれを解く羽目になったりするので(うろ覚えなので間違っているかもしれないです。)そういう時でもHamilton-Jacobi方程式を知っていると何をやっているのかが分かりやすいのではないでしょうか。
結局教科書としてはLandau「力学」に100パーセントお世話になりました。別にこの本を必ず読めと言いたい訳でもないのですが、僕のように一通り解析力学を知っていてもう一度力学全体を俯瞰したい場合にはちょうど良い本のように思えます。
テスト勉強の際にはGoldstein「古典力学」の演習書なども参照しました。
こういう演習問題にもっと多く取り組むべきだったのかもな、と今でも思うことがありますが他に学びたい分野があるのでとりあえずそちらに進みたくなりますよね。
大学院生(理論物理)って何してるの
自分はいま大学院生という立場で、学部生の頃はそれなりに勉強をして、院試を受けて(僕は外部の院を受けた)今に至るわけです。それで何を思ったかというと大学院生の実情ってよくわからないよな、という事です。理系だったら大学院まで進学するのが多数だよ、みたいな話を聞くには聞くのですがそれでも日本全体で見たら大学院生って謎な存在なのではないでしょうか。実際学部の頃の僕はそう思っていました。僕は物理楽しいという気持ちだけでそのまま謎な世界に突入した訳ですが、それで良かったのかと言われると自信をもって良かったと言い切れないし、逆に進学しなきゃ良かったと思う状況でもないのでこの先どうなるか、次第です。
ともかく、何が言いたいかというとこれから大学院で(理論)物理を専攻しようと思う人が、何のイメージもわかないまま進学するよりかは当事者の声があった方が良いだろうと思ってこのブログでもぼちぼち大学院生がどんな存在なのかを明らかにしていこうと思った次第です。(そのためにはこのページを見つけてくれないといけないのですが)
だからこのブログに行き着いた人に少しでも大学院生(あるいはもっと広く研究者)の生活が伝わるといいな、と思っています。
それから、名前も顔も知らぬ後輩のために僕が勉強した本や勉強の時に心がけている事なども老婆心ながら書いてみたいとも思います、いつか。
トポロジー
大学院ではセミナーというものがあります。要するに何かしらのテーマについて講演者がレクチャーをしてくれる、というものです。ただレクチャーと言っても「お話」レベルのざっくりして聞きやすい場合と「授業」のようにこちらも集中して聞かないといけない場合と色々あります。本当に身につけたいと思ったらやっぱり授業くらいしっかりと教わったほうがいいですよね。そうなると「集中講義」と読んだほうがいいかもしれません。
物性理論ではトポロジカル絶縁体やトポロジカルな相(基底状態がなんらかの意味でトポロジカル)みたいな話題をよく聞きます。多分現代的な物性理論の教科書にはそう言った話題に踏み込んだ教科書も最近は増えてきているのではないでしょうか。僕自身、先ほどいったセミナーなどの機会でよく「トポロジカル」が枕詞になる話題を聞きます。しかしトポロジーという概念について「コーヒーカップとドーナツが一緒」みたいな話しか知らない。これではいけない、と。自分の研究に今は関係無くてもここまで標準的な概念になりつつあるのならば自分も勉強しなきゃいけないよなーと思って最近その手の教科書を読み始めました。以下が教科書。
https://www.amazon.co.jp/理論物理学のための幾何学とトポロジー%E3%80%881〉-中原-幹夫/dp/4894711656
残念ながら日本語訳は絶版らしく、(僕が持っているのは単なるラッキー)しかし理論物理とトポロジーの話ならこれだろ、と有名な本ということでこの本で勉強を始めました。実のところ、トポロジカル絶縁体についてだけ知りたければそういう教科書やレビュー論文を読めばいいのですがそれはそれでぼちぼち進めていこうと思います。
ともかく「中原トポ」を読み始めたわけですが今はまだ鎖群や輪体群あたりの定義を見ているだけです。ホモロジー群の定義も出てきたのですが、幾何学的な意味合いがいまいち掴めない。むしろ幾何学的な対象を群という代数的な問題に移しているという点でホモロジー群は優れているのかもしれませんが何かしらの幾何学的な意味合いが全くないなんてことは無いはずだと思っています。そうした問題意識を持ちつつもう少し読み進めてみます。
